Cauchy's theoremの正しい？証明

Cauchy's theorem、以後は格好つけずコーシーの定理と日本語で言おう。

コーシーの定理という名の冠された定理は沢山あるだろうが、

ここでは、群論における、

群Ｇについて、Ｇの位数が素数pで割り切れるなら、
Ｇは位数pの部分群を持つ

である。

大概の本では、（英語版Wikiを参考にしたが)

まずアーベル群について、

帰納法の過程について|G|=pの場合成立すると仮定する。

そして、|G|>pの場合の群を考察して、Gの部分群で

位数がpで割られるものを構成し、

帰納法の過程...(a)から、位数pの部分群を持つ、

とするのだ。

自分は(a)を帰納法の過程と取るのに疑問を持っていた。

何故なら、nを自然数として、位数の群について、

位数pの部分群の存在は帰納法の過程から保証されないからだ。

で、思いついて解決策として、

位数pで成り立つのを帰納法のベースとして、

位数の群が位数pの部分群のを持つことを、

nについて帰納法で証明する。

そして第二ステップとして、

の群が位数pの部分群を持つことを

帰納法の起点として、

が位数pの部分群を持つことを、

kについての帰納法で証明するのだ。

もしやこれは穿った（うがった）見方なのか、

実は皆ちゃんとこの行間を読んでいるのか判然としないが、

これで納得したのだ。

あと有限生成アーベル群の構造定理を有限アーベル群(有限可換群)に適用し、

有限可換群は準素巡回群(位数素数の冪乗の巡回群）の直積に同型、

を使う奴もできる。ここら辺はまだ証明のトレースとかしてないので、

そのうち…

ここら辺に来ると平易と思われた、

「巡回群の直積は巡回群」

みたいな演習問題も結構使える命題だと思えてくる…

おわり！