Cauchy's theoremの正しい?証明
Cauchy's theorem、以後は格好つけずコーシーの定理と日本語で言おう。
コーシーの定理という名の冠された定理は沢山あるだろうが、
ここでは、群論における、
群Gについて、Gの位数が素数pで割り切れるなら、
Gは位数pの部分群を持つ
である。
大概の本では、(英語版Wikiを参考にしたが)
まずアーベル群について、
帰納法の過程について|G|=pの場合成立すると仮定する。
そして、|G|>pの場合の群を考察して、Gの部分群で
位数がpで割られるものを構成し、
帰納法の過程...(a)から、位数pの部分群を持つ、
とするのだ。
自分は(a)を帰納法の過程と取るのに疑問を持っていた。
何故なら、nを自然数として、位数の群について、
位数pの部分群の存在は帰納法の過程から保証されないからだ。
で、思いついて解決策として、
位数pで成り立つのを帰納法のベースとして、
位数の群が位数pの部分群のを持つことを、
nについて帰納法で証明する。
そして第二ステップとして、
の群が位数pの部分群を持つことを
帰納法の起点として、
が位数pの部分群を持つことを、
kについての帰納法で証明するのだ。
もしやこれは穿った(うがった)見方なのか、
実は皆ちゃんとこの行間を読んでいるのか判然としないが、
これで納得したのだ。
あと有限生成アーベル群の構造定理を有限アーベル群(有限可換群)に適用し、
有限可換群は準素巡回群(位数素数の冪乗の巡回群)の直積に同型、
を使う奴もできる。ここら辺はまだ証明のトレースとかしてないので、
そのうち…
ここら辺に来ると平易と思われた、
みたいな演習問題も結構使える命題だと思えてくる…
おわり!